镇国学神从数学开始无敌第26章 无解之题两种答案

完成了第一道大题许燃没有半分停留。

他就像一台冷酷的解题机器目光平静地移向了试卷的下一部分。

第二题一道复杂的数论题涉及同余方程组和二次剩余。

常规解法需要用到繁琐的中国剩余定理并且要分十几种情况进行讨论。

许燃的解法？ 他在草稿纸上引入了“p-adic数”的概念将问题转化到p-adic数域中利用亨泽尔引理一步就得到了通解。

过程三行。

第三题一道极其刁钻的代数不等式证明。

出题老师的本意是考察学生对柯西不等式、排序不等式等多个知识点的综合运用能力。

许燃却直接在卷子上写下“设f(x)为……构造拉格朗日函数L(xλ)……” 他竟然直接用上了大学“分析数学”里才会学到的“拉格朗-日乘数法”将一个不等式极值问题转化为了一个多元函数求偏导的简单计算。

过程五行。

考场内大部分学生还在为第一题抓耳挠腮。

除了许燃大家觉得都很忙却没得出有把握的结果不知道在忙啥！ 李星宇刚刚满头大汗地完成了第一题的计算正准备松口气时—— 许燃已经兵不血刃地杀到了最后一题。

【第四题（解答题40分）：】 【是否存在一个n ＞ 2024的整数使得我们可以将一个n×n的棋盘用1×4的多米诺骨牌完全覆盖？若存在请给出一个构造性的例子；若不存在请证明。

】 当许燃看到这道题时连他自己都微微挑了下眉。

“有意思。

” 这是一道组合几何与数论的交叉问题也是这张试卷里真正的“陷阱之王”。

它的难度不在于计算而在于思维的跃迁。

因为它的标准答案是——不存在。

这道题的设计就是为了坑杀那些思维固化只会埋头构造的“刷题家”。

很多学生面对这种是否存在的问题就已经思维固化认定肯定存在！ 在错误的方向下了苦力不可能得到正确的结果！ 你需要跳出构造的思维定式转而用“染色法”来证明其“不可能性”。

这才是出题人想要看到的“天才的火花”。

显然这种题就是筛选做题家和天才的！ 然而许燃的思维再次跳出了出题人的预设。

“染色法么……可以很标准但不够漂亮。

” 他嘴角微扬提笔在答题纸上飞快地书写起来。

【解法一：染色证明】 【我们将n×n的棋盘用四种颜色{1 2 3 4}进行染色。

令坐标为(i j)的格子的颜色为(i 2)+ 2(j 2)+ 1。

即交替染成：】 【1 3 1 3 ...】 【2 4 2 4 ...】 【1 3 1 3 ...】 【2 4 2 4 ...】 【可以发现任何一个1×4的骨牌无论横放还是竖放都必然会恰好覆盖四种颜色各一个。

】 【因此若要完全覆盖则棋盘中四种颜色的格子数量必须相等。

】 【但当n为奇数时四种颜色的格子数不可能完全相等。

】 【当n为偶数时……】 许燃的笔速极快只用了不到二十分钟就将一个完美无瑕、逻辑严谨的染色法证明写满了半张答题纸。

这个答案足以让他拿下满分。

但他停下了笔看了一眼自己写下的证明轻轻摇了摇头。

“太普通了。

” 他拿起一张新的答题纸在上面写下了三个大字——【解法二】。

这一次他的思路天马行空完全脱离了高中竞赛的范畴。

【解法二：代数赋值法】 【我们将复数域引入棋盘。

令坐标为(i j)的格子的权值为w^(i+2j)其中w=e^(iπ/2)=i为四次单位根。

】 【那么整个棋盘所有格子权值的总和S =Σ w^(i+2j)(1≤ i j≤ n)。

】 【这是一个可以利用等比数列求和公式计算的几何级数……】 【经过计算当且仅当n是4的倍数时S = 0。

】 【而任何一个1×4的骨牌其覆盖的四个格子的权值之和恒为0。

】 【因此若要用1×4骨牌完全覆盖棋盘其充要条件是整个棋盘的权值总和S=0。

】 【所以只有当n是4的倍数时才可能被完全覆盖。

】 写完这个证明许燃才满意地点了点头。

这个解法用代数的方法将一个看似纯粹的组合问题转化得干净利落。

其背后蕴含的是“群表示论”的思想萌芽。

这种解法如果出现在大学的组合数学课堂上都会被教授大加赞赏。

而现在它出现在了一张高中生的竞赛答卷上。

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